In questo sito http://www.dmi.units.it/~logar/mescef/  si trova il software relativo al libro: Margherite e spirali, cavolfiori e frattali di Carlo Genzo e Alessandro Logar.
Si tratta di due differenti applet Java (per poterli visionare, bisogna quindi aver istallato il plugin di Java nel proprio browser).

  • Il primo applet permette di tracciare spirali e simulare la posizione dei fiori tubulosi di varie piante (margherite, girasoli, ecc.);
  • Il secondo applet permette di costruire frattali atti a imitare alcuni tipi di piante (ombrellifere, felci, ecc.).

INTRODUZIONE

La Natura è ricca di forme geometriche. Le possiamo trovare dappertutto: nei cristalli, nelle rocce, nelle nuvole; nel mondo vegetale come in quello animale: basti pensare alle molteplici simmetrie dei fiori, ad una stella marina, al guscio di una chiocciola o alla complessa forma di una fronda di felce.

La matematica è sempre stata utilizzata (qualcuno potrebbe dire: a torto o a ragione), per interpretare e spiegare la Natura. Probabilmente una delle ragioni del suo successo sta proprio nel fatto che grazie alla matematica si riescono a comprendere e collegare tra loro i fenomeni naturali; inoltre lo studio della realtà fisica ha a sua volta stimolato e sviluppato interi settori matematici.
Osservare quindi un fiore, una foglia o un frutto per scoprire quale e quanta matematica possa essere nascosta in essi è un’attività stimolante e, anche se non è certamente nuova, può riservare ancora grandi sorprese. Si pensi all’esempio di una pianta comune come una margherita. In essa è celata una molteplicità di strutture matematiche. A cominciare da quelli che comunemente si chiamano “petali”, il cui numero non è casuale, ma solitamen te è uno dei numeri della successione di Fibonacci; si pensi ai fiorellini gialli che costituiscono il disco centrale dell’infiorescenza, i quali si dispongono con una sorprendente regolarità, tanto da sistemarsi lungo delle spirali (chiamate in matematica spirali di Fermat) sviluppate sia in verso orario, sia in verso antiorario e non solo: contando le spirali orarie o quelle antiorarie si trovano ancora numeri di Fibonacci. Infine anche le brattee di una margherita (le fo glioline che avvolgono alla base l’infiorescenza) danno ancora una volta numeri di Fibonacci.
Molte altre piante (soprattutto della famiglia delle Composite o Asteracee, ma non solo) condividono proprietà simili a quelle della margherita, tanto che risulta senz’altro interessante soffermarsi a guardarle più nei dettagli per meglio capire in cosa si eguaglino e in cosa si differiscano.
Se le proprietà “matematiche” delle Asteracee sono note già da vari secoli (anche se va notato che una spiegazione convincente della  disposizione a spira le dei fiori tubulosi è stata data appena nella seconda metà del secolo scorso, vedi [15, 13, 12, 10, 8]), per altre piante, invece, la creazione di uno strumento matematico in grado di spiegare la loro struttura è avvenuta solo in anni re lativamente recenti. Ci riferiamo agli organismi la cui forma è assimilabile a quella di un frattale, concetto matematico sorto appena nella metà del secolo scorso per opera di Mandelbrot (v. [9]).

In questo volumetto, seguendo le tracce di quanto già predisposto in: “Una passeggiata matematica”, [6], vogliamo soffermarci ad analizzare due categorie di piante: quelle, come la margherita, il girasole, il pino e altre ancora nelle quali i fiori o, rispettivamente, le squame legnose delle pigne celano, in vario modo, numeri di Fibonacci e quelle invece (come le felci o le ombrellifere) la cui struttura è ben rappresentata da un frattale. Poiché il modo migliore per comprendere è quello di sperimentare, abbiamo pensato di seguire in questa presentazione un approccio il più possibile costruttivo, predisponendo quindi del software (v. http://www.dmi.units.it/~logar/mescef) che permette di ricostruire alcu ni aspetti dei vegetali esaminati. In questo modo il lettore interessato può sia ripetere gli esempi qui trattati, sia soprattutto sperimentarne di nuovi. Il primo capitolo introduce alcune Asteracee, spiega quali siano le carat teristiche peculiari e presenta un possibile modello matematico che riesca a simulare la disposizione a spirali dei fiori tubulosi o delle brattee. Sono state costruite alcune schede che mostrano esempi di vari fiori e la loro simulazione effettuata per mezzo del programma sopra indicato. L’appendice del capito lo spiega invece nei dettagli come utilizzare il software in modo che si possa facilmente sperimentarlo.
Il secondo capitolo è un intermezzo dedicato in parte all’arte, in parte agli approfondimenti matematici. La successione di Fibonacci, introdotta nel primo capitolo, è infatti intrinsecamente legata al numero aureo (la “Divina Propor zione”, secondo Luca Pacioli) e la Divina Proporzione ha fortemente condizio nato l’architettura, la pittura e la scultura in molte epoche. Non si poteva quindi non soffermarsi almeno un istante su alcuni aspetti artistici. Seguono poi degli approfondimenti matematici. Si fa cenno al legame che intercorre tra la successione di Fibonacci e il numero aureo e si sviluppano esplicitamen te alcuni calcoli relativi al pentagono regolare, esempio importante, perché la definizione del rapporto aureo è stata introdotta dagli antichi greci proprio in conseguenza dello studio delle proprietà geometriche di questa figura.

Nel terzo capitolo si introducono i frattali, si spiegano alcune loro proprietà e si mostra come l’aspetto di molti vegetali possa essere imitato per mezzo di questi oggetti geometrici. Anche qui, come nel primo capitolo, il lettore ha a disposizione un software in grado di costruire un qualunque frattale, a partire da alcuni semplici dati, il cui utilizzo viene spiegato nell’appendice. Nel capitolo si trova anche una veloce descrizione dell’insieme di Mandelbrot, fatta nel modo più diretto possibile.
Si è cercato di mantenere la trattazione degli argomenti ad un livello ele mentare anche se in alcune parti, soprattutto quando si approfondisce la mate matica, non si può sfuggire da qualche conto che a qualcuno potrebbe risultare un po’ ostico. Per questo motivo alcune sezioni sono precedute da un asterisco: esso serve a mettere sull’avviso il lettore che l’argomento richiede qualche no zione matematica. Per non appesantire la trattazione, si è comunque cercato di sviluppare i temi trattati in modo che le sezioni marcate da un asterisco pos sano essere saltate, senza con ciò precludere la comprensione delle rimanenti parti del testo.
Auspichiamo infine che il presente lavoro possa essere proficuamente utiliz zato sia dagli studenti delle scuole superiori, a cui è espressamente rivolto, sia dai loro insegnanti.

Carlo Genzo
Laureato in Scienze Naturali, insegnante nella scuola secondaria, autore di numerosi articoli di carattere scientifico, divulgativo e didattico, ha collaborato nella preparazione di testi scolastici di scienze. Supervisore presso l’Università di Trieste per la formazione degli insegnanti.

Alessandro Logar
professore associato di Algebra presso il Dipartimento di Matematica e Geoscienze dell’Università di Trieste, insegna nei corsi della laurea triennale e magistrale in matematica e in geologia; si occupa di ricerche nell’ambito degli aspetti computazionali e algoritmici dell’algebra.